Ich habe die Informationen in folgende Abschnitte unterteilt:
a) Die Satelliten
b) Wie funktioniert eigentlich eine Positionsbestimmung?
c) Fehlerquellen bei der Positionsbestimmung

a) Die Satelliten

Die Satelliten umkreisen die Erde mit etwas über 3,8 km pro Sekunde (fast 14000km/h) und haben eine Umlaufzeit von 11 Stunden 58 Minuten. Der gleiche Satellit steht jeden Tag etwa 4 Minuten früher über der gleichen Position. Die mittlere Enfernung vom Erdmittelpunkt beträgt 26560 km, was bei einem mittleren Erdradius von 6360 km zu einer Bahnhöhe von etwa 20200 km führt. Umlaufbahnen in dieser Höhe werden auch MEO – “medium earth orbit” genannt. Im Vergleich dazu haben geostationäre Satelliten wie die ASTRA oder Meteosat-Satelliten mit 42300 km eine Umlaufbahn in etwa der doppelten Entfernung.

Die Satelliten “umfliegen” die Erde in 6 nahezu kreisförmigen Bahnen, wobei 4 Bahnen eine Neigung von 55° gegenüber der

Äquatorialebene haben und weitere zwei Bahnen eine Neigung von 63° haben. Auf jeder Bahn befinden sich 4 Satelliten. Zusätzlich befinden sich noch 4 weitere Satelliten zur Ausfallsicherheit im Orbit. Im untenstehenden Bild kann man das recht gut nachvollziehen.

Es zeigt die Satellitenpositionen am 31. Januar 2003 um 16:10 Uhr MEZ. Es entstand mit dem Satellitentrackingtool JTrack3D.

Die Anordnung der GPS-Satelliten hat zur Folge, dass die GPS-Satelliten überall auf der Welt zu jeder Zeit empfangen werden können. Je weiter man sich allerdings den Polen nähert, desto weiter am Horizont befinden sich die Satelliten. Aufgrund der Geometrie der Satellitenpositionen kann dies zu geringen Einbußen in der Positionierungsgenauigkeit führen. Diese Geometrieeffekte treten jedoch bei bestimmten Satellitenkonstellationen von Zeit zu Zeit auch an anderen Punkten der Erde auf und sind eine mögliche Fehlerquelle auf die hier später noch eingegangen wird.Zur Positionsbestimmung mittels GPS-Empfänger ist es wichtig, den möglichst genauen Abstand der Satelliten von der Erde zu kennen. Der hierbei entstehende Fehler ist nämlich der größtmögliche – den Hinweis auf Kepler und Newton erspare ich mir jetzt.

24 Stunden am Tag werden deswegen von verschiedenen Stationen aus die Daten der GPS-Satelliten in Echtzeit ausgewertet und daraus Informationen über die Uhren und Bahnen der Satelliten gewonnen. Auf diese Weise können eventuelle Fehlfunktionen schnell festgestellt werden. Aus den Informationen werden auch neue Ephemeridendaten (Ephemeriedaten sind vorhergesagte Daten der Umlaufbahnen) berechnet. Ein bis zwei mal pro Tag werden diese Daten dann an die Satelliten zurückgesandt. Dadurch kann eine Genauigkeit für die Satellitenposition von bis zu 5m erreicht werden.

Eine weitere wichtige Funktion haben die Almanach-Daten, die Daten, die die im Empfänger befindliche Uhr synchronisieren und Korrekturdaten für die Satellitenbahnen beinhalten. Die Almanach-Daten werden ca alle 6 Tage aktualisiert.

Die Speicherung der Ephemeriden- und Almanach-Daten im GPS-Empfänger führt dazu, dass Empfänger, die für nicht sehr lange ausgeschaltet waren, nur kurze Zeit für eine Positionsbestimmung benötigen, denn sie “wissen” welche Satelliten für sie “sichtbar” sind. Wenn sowohl die im Empfänger gespeicherten Almanach- als auch die Ephemeridendaten aktuell sind, so spricht man beim Einschalten des Geräts von einem “Warmstart”. Die zur Positionsbestimmung notwendigen Ephemeris-Daten werden von jedem Sat alle 30 Sekunden ausgesendet, wobei die Übertragung 18 Sekunden dauert. Nach spätestens 36 Sekunden sind diese Daten also im Gerät und können zu einer Positionsbestimmung genutzt werden. Nach 4 bis 6 Stunden sind die Ephemeriden veraltet, müssen also vor der ersten Positionsberechnung neu empfangen werden. Hierbei spricht man von einem “Kaltstart”. Sind sogar die Almanach-Daten veraltet, was passiert, wenn der Empfänger für einige Wochen ausgeschaltet war, so muss zunächst die Übertragung der Almanach Daten abgewartet werden, um entscheiden zu können, welche Satelliten empfangen werden können. Dies dauert über 10 Minuten. Die Daten können am leichtesten empfangen werden, wenn sich das Gerät nicht in Bewegung befindet. Zur Sicherheit und vollständigen Ladung der Almanach-Daten sollte man sein Gerät ca 30 Minuten dem freien Satellitenempfang aussetzen.

Wurde die Position des Empfängers in ausgeschaltetem Zustand um mehr als etwa 300 km verändert, so stimmen die “sichtbaren” Satelliten nicht mehr mit den Satelliten überein, die vom Empfänger erwartet werden, der ja noch von der alten Position ausgeht, weshalb auch hier die Zeit bis zur ersten Positionsbestimmung länger dauert. Den meisten GPS-Empfängern kann dies durch Eingabe des ungefähren Standorts oder der Tatsache, dass dieser verändert wurde erleichtert werden.

b) Wie funktioniert eigentlich eine Positionsbestimmung?Vereinfacht dargestellt erhält Dein GPS-Empfänger von den GPS-Satelliten die Informationen über den “Namen” des Satelliten, dessen derzeitige Position und wann die gerade empfangene Nachricht abgesendet wurde. Gleichzeitig natürlich noch notwendige weitere Daten, wie zum Beispiel Ephemeriden- und Almanachdaten – aber das haben wir ja schon besprochen…

Um nun die Position zu bestimmen, vergleicht der GPS-Empfänger die Zeit, zu der das Signal ausgesendet wurde mit der Zeit, zu der das Signal empfangen wurde. Aus dieser Zeitdifferenz kann nun die Entfernung des Satelliten berechnet werden und somit auch die eigene Position.

Zur Verdeutlichung hier ein Beispiel mit zwei Satelliten. Wenn die Zeitdifferenzen von Satelliten und GPS-Empfänger bekannt sind, ist die eigene Position genau am Schnittpunkt A. (Die hier angenommenen Zeiten sind unrealistisch, aber dazu gleich mehr.)

Das scheint ja einfach zu sein – das Problem ist allerdings, die exakten Zeiten zu messen. Jeder Satellit besitzt mehrere Atomuhren und damit eine sehr exakte Zeit, aber für einen einfachen GPS-Empfänger wäre dieses Ausstattungsmerksmal etwas kostspielig.

Bleiben wir bei unserem Beispiel und nehmen mal an, die Uhr des Empfängers geht um eine halbe Sekunde nach. Schon kann die Position, wie in diesem Beispiel, nicht mehr exakt bestimmt werden. Die Position kann an den beiden Schnittpunkten B möglich sein.

Tatsächlich macht ein Uhrenfehler im GPS-Gerät von 1/100 Sekunde (eine Zeitspanne, die Du vielleicht vom letzten Motorradrennen her kennst und ahnen kannst, wie kurz diese ist) schon einen Fehler von fast 3000km aus! Um eine Positionsbestimmung auf 10 m genau zu erreichen, muss die Laufzeit bis auf 0,00000003 Sekunden genau bekannt sein. Das kommt daher, weil die Signale vom Satelliten mit Lichtgeschwindigkeit und damit mit fast 300000000m/s unterwegs sind. Ein Satellitensignal ist ungefähr 0,07 Sekunden unterwegs.

Das Problem wird relativ einfach gelöst: Können mehrere Schnittpunkte auftreten, so macht das Deinen GPS-Empfänger “hellhörig” und er sucht nach einem gemeinsamen Korrekturfaktor für die Laufzeit der Satellitensignale. Dieser Korrekturfaktor ist die eigene Uhrzeit, die nun solange verändert wird, bis sich die Laufzeiten wieder in exakt einem Punkt treffen. Neben der Positionsbestimmung hat der GPS-Empfänger damit auch eine atomgenaue Uhrzeit, da seine Zeit jetzt synchron mit der der Satelliten ist.

Deswegen werden wenigstens drei solcher Satelliten-Signalen benötigt, damit der GPS Empfänger den Längen- und Breitengrad bestimmen kann. Dies wird “2D position fix” (zweidimensionale Positionsbestimmung) genannt. Mit Hilfe von vier oder mehr Satelliten kann ein “3D position fix”, also zusätzlich die Höhe bestimmt werden.

Durch ständige Neuberechnung der aktuellen Position kann der GPS Empfänger auch genau die Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung (als “ground speed” und “ground track” bezeichnet) berechnen.

Eine andere Möglichkeit der Geschwindigkeitsmessung ist das Ausnutzen des Dopplereffekts, der durch die Bewegung bei den übermittelten Signalen auftritt. Das funktioniert nach dem gleichen Prinzip, wie ein Beobachter ein Martinshorn als höheren Ton wahrnimmt, wenn es sich auf ihn zu bewegt und als tieferen Ton, wenn es sich von ihm weg bewegt.

c) Fehlerquellen bei der Positionsbestimmung Satellitengeometrie:Die offensichtlichste Fehlerquelle, der die Genauigkeit der Positionsbestimmung beeinflusst ist die “Satellitengeometrie”. Einfach gesagt bezieht sich “Satellitengeometrie” auf die vom Empfänger aus gesehene Stellung der gerade empfangenen Satelliten zueinander im Raum. Damit Du diesen Fehler bemerken kannst, hat jeder GPS-Empfänger ein Bildschirm, der die derzeitig empfangenen Satelliten und ihre Position zueinander schematisch darstellt.

Wenn alle Entfernungsmessungen aus der gleichen Richtung erfolgen, kann keine Position ermittelt werden.

Hier ein Beispiel mit zwei Satelliten.

Im positiven Fall stehen die Satelliten im 90° Abstand zueinander. Die ausgesendeten Wellen treffen sich im blauen Punkt.

Stehen die Satelliten ungünstig z.B. hintereinander, dass könnte die komplette blau gekennzeichnete Fläche die Position sein.

Die Satellitengeometrie muss auch berücksichtigt werden, wenn der GPS Empfänger in Fahrzeugen oder in der Nähe von hohen Gebäuden verwendet wird. Wenn einige Satellitensignale abgeblockt werden, so entscheiden die restlichen Satellitenpositionen darüber, wie gut die Positionsbestimmung sein wird und ob überhaupt eine Positionsbestimmung möglich ist. Dies kann häufig sehr gut innerhalb von Gebäuden in Fensternähe beobachtet werden. Wenn noch eine Positionsbestimmung möglich ist, ist diese meist sehr ungenau. Je größer der verdeckte Bereich des Himmels ist, desto schwieriger wird die Positionsbestimmung.

Position des Empfängers:Der Fehler der Positionsbestimmung hängt durch die Satellitengeometrie auch vom Breitengrad des Empfängers ab. Anhand von den zwei Diagrammen links kann dies wieder veranschaulicht werden. Das untere Diagramm zeigt den Höhenfehler aufgenommen in Wuhan (V. R. China), welches auf 30,5 ° nordlicher Breite liegt und somit praktisch immer ideale Satellitenkonstellationen vorfindet. Das obere Diagramm zeigt den gleichen Messzeitraum aufgenommen auf der Casey-Station in der Antarktis (66,3 ° südliche Breite). Bedingt durch zeitweise ungünstige Geometrie fällt der Fehler deutlich grösser aus. Die y-Achse trägt auf der Skala die Entfernung in Meter um die wahre Position. Zusätzlich kommt es, je näher man zu den Polen kommt zu einer Verschlechterung der Positionsgeauigkeit dadurch, dass die Signale flacher durch die Atmosphäre laufen und somit eine “dickere” Atmosphäre “sehen”, die zu Fehlern führt (siehe atmosphärische Effekte)

Der Fehler, der durch die Satellitengeometrie und auch die erhöhte Toleranz je nach Breitengrad entsteht, kann nicht direkt im Metern gemessen werden. Vielmehr werden diese Fehlerquellen bei der internen Ermittlung des EPE-Wertes indirekt berücksichtigt. Die Geräte haben meistens eine Anzeige des EPE-Wertes, der die Genauigkeit der Positionsbestimmung anzeigt.

Satellitenumlaufbahnen:Obwohl die GPS Satelliten sich in sehr präzisen Umlaufbahnen befinden kommt es zu leichten Schwankungen durch Gravitationskräfte. So beeinflussen Sonne und Mond die Bahnen geringfügig. Die exakten Bahndaten werden jedoch regelmässig kontrolliert und auch korrigiert und in den Ephemeridendaten zu den Empfängern gesandt. Dadurch bleibt der für die Positionsbestimmung resultierende Fehler mit ca. 2 Metern sehr gering.

Störungen durch Reflektion der Signale:Eine weitere Fehlerquelle ist der Mehrwegeeffekt. Dies ist ein Effekt der durch Reflektion der Radiowellen an Objekten zustande kommt. Bei GPS-Signalen tritt dieser Effekt durch Reflektion an hohen Gebäuden oder anderen Erhebungen auf. Das reflektierte Signal braucht länger, um zum Empfänger zu gelangen als das direkt empfangene Signal. Der daraus resultierende Fehler liegt typischerweise bei etwa 1 Meter.

Atmosphärische Effekte:Weiterhin zum Genauigkeitsfehler trägt die durch durch atmosphärische Effekte in der Troposphäre und Ionosphäre verringerte Ausbreitungsgeschwindigkeit bei.

Elektromagnetische Wellen verlangsamen sich beim Durchgang der Ionosphäre umgekehrt proportional ihrer Frequenz zum Quadrat (1 / f 2). Das bedeutet, dass sich elektromagnetische Wellen mit niedrigen Frequenzen stärker als solche mit hohen Frequenzen verlangsamen. Wenn man nun die bei einem Empfänger ankommenden hoch- und tieffrequenten Signale hinsichtlich ihrer unterschiedlichen Ankunftszeit untersucht, kann die ionosphärische Laufzeitverlängerung berechnet werden. Dieses Verfahren wird bei militärischen Empfängern genutzt. Bei zivilen Empfängern werden die typischen Geschwindigkeitsabweichungen bei tiefen und hohen Frequenzen während der Ionosphärendurchdringung an einem Standardtag zu Standardbedingungen und bei allen Entfernungsberechnungen mit einbezogen. Was bei zivilen Empfängern deswegen nicht kompensiert werden kann, ist eine unvorhergesehene Laufzeitänderung beispielsweise durch veränderte Ionosphäre infolge starker Sonnenwinde.

Die Ursache für den Troposphärenfehler sind die bei unterschiedlichen Wetterlagen bedingten unterschiedlichen Wasserdampfkonzentrationen in der Troposphäre. Der Fehler ist aber kleiner als der Ionosphärenfehler, lässt sich jedoch nicht herausrechnen und kann lediglich durch ein allgemeines Modell bei den Berechnungen angenähert werden.

Diese Fehler durch atmosphärische Effekte sind gering und werden größtenteils im Empfänger durch entsprechende Berechnungen kompensiert.

Durch Einführung von WAAS und EGNOS ist es möglich, “Karten” mit dem Einfluss der Atmosphäre auf bestimmte Gebiete zu erstellen und diese Korrekturdaten an die Empfänger zu senden. Dadurch wird die Genauigkeit deutlich erhöht.

Uhrenungenauigkeit und Rundungsfehler:Eine weitere Fehlerquelle ist, trotz der Synchronisierung der Uhr während der Positionsbestimmung auf die Zeit der Satelliten, die verbleibende Ungenauigkeit der Empfänger-Uhr. Die verbleibende Uhrenungenauigkeit der Satelliten macht einen Fehler von ca. 2 Metern aus. Rundungs- und “Rechenfehler” der Empfänger bewirken etwa einen 1 Meter Ungenauigkeit.

Relativistische Effekte:Hier wird jetzt keine Erklärung der allgemeinen oder speziellen Relativitätstheorie erfolgen, aber da diese Effekte einen wichtigen Einfluss auf das Funktionieren des GPS-Systems haben, soll kurz erwähnt werden, weshalb das so ist. Damit wird aber auch klar, dass die Relativitätstheorie kein theoretisches Gebilde mehr ist, sondern uns heute ganz selbstverständlich im täglichen Leben begleitet.

Da, wie bereits erwähnt, die Zeit bei der ganzen GPS-Navigation ein sehr kritischer Faktor ist und bis auf 20 – 30 Nanosekunden genau bekannt sein muss, um die gewollte Genauigkeit zu erreichen, spielt hier die schnelle Bewegung der Satelliten eine Rolle. Wer sich schon einmal mit der speziellen Relativitätstheorie auseinandergesetzt hat, weiss, dass bei schnellen Bewegung die Zeit langsamer vergeht als im Stillstand. Für die Satelliten, die sich mit über 3800 m/s bewegen, bedeutet das aber, dass deren Uhren von der Erde aus gesehen langsamer gehen. Diese relativistische Zeitdilatation macht einen Zeitfehler von etwa 8 Nanosekunden pro Tag aus.

Die allgemeine Relativitätstheorie sagt nun aber zudem, dass die Zeit umso langsamer vergeht, je stärker das Gravitationsfeld ist, dem man ausgesetzt ist. Dieser Effekt führt dazu, dass ein Beobachter auf der Erde die Uhr des Satelliten, der ja in 20200 km Höhe einem geringeren Erdgravitationsfeld ausgesetzt ist, als der Beobachter, als zu schnell empfindet. Dieser Effekt ist etwa sechsmal so gross wie der durch die Geschwindigkeit hervorgerufene. In Summe gesehen scheinen die Uhren der Satelliten also etwas zu schnell zu laufen. Die Zeitverschiebung zum Beobachter auf der Erde wäre etwa 38 Mikrosekunden pro Tag und würde einen Gesamtfehler von etwa 10 Kilometern pro Tag ergeben. Damit man sich nicht ständig mit diesen Fehlern herumschlagen muss haben sich die Entwickler der GPS-Systems etwas einfache und schlaues einfallen lassen. Sie haben die Uhren der Satelliten auf 10.229999995453 Mhz anstat 10.23 Mhz eingestellt, tun aber so, als hätten sie wirklich 10.23 MHz. Damit werden de Relativistischen Effekte kompensiert.

Es gibt noch einen weiteren Relativistischen Effekt, der bei normalen GPS Positionsbestimmungen nicht berücksichtigt wird: Der Sagnac-Effekt. Dieser kommt dadurch zustande, dass sich ein Beobachter auf der Erde durch die Erdrotation ebenfalls mit bis zu 500 m/s (am Äquator) bewegt. Da der Einfluss dieses Effekts sehr gering und kompliziert zu berechnen ist, da der richtungsabhängig ist, wird er nur in besonderen Fällen berücksichtigt.

Würden wir die Zusammenhänge der allgemeinen oder speziellen Relativitätstheorie nicht kennen, so würde pro Sekunde ein Fehler von 13 Zentimeter erreichen – während einer Stunde wären das bereits fast 500 Meter.

Zusammenfassung:Insgesamt sieht die Fehlerbilanz etwa folgendermassen aus, wobei die Werte keine festen Größen, sondern durchaus Schwankungen unterworfen sind. Die angegebenen Werte sind circa-Werte.

Atmosphärische Effekte ± 5 Meter

Schwankungen der Satellitenumlaufbahnen ± 2.5 Meter

Uhrenfehler der Satelliten ± 2 Meter

Störungen durch Reflektion der Signale ± 1 Meter

Störungen durch die Troposhäre ± 0.5 Meter

Rechnungs- und Rundungsfehler ± 1 Meter

Insgesamt ergibt sich daraus ein Fehler von ± 12 Metern. Du kannst übrigens die Genauigkeit Deines GPS-Empfängers mit der Software SA Watch überprüfen.